συμφωνώ δεν είστε υποχρεωμένοι να τα θυμάστε αυτά...
Άρρητος αριθμός ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων. (ακέραιοι είναι οι γνωστοί σε όλους 1,2,3,4,... κοκ)
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγεθών μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο φυσικών αριθμών (ακεραίων δηλ). Δηλαδή με πιο απλά λόγια ότι όλοι οι αριθμοί που υπάρχουν, μπορούν να εκφραστούν σαν κλάσμα δύο ακεραίων, πχ, 3/4, 13/17, 1357/1358... Στην πεποίθηση αυτή είχαν στηρίξει όλη τη κοσμοθεωρία τους και προσπαθούσαν να επιλύσουν προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο. Όπως για παράδειγμα η θεωρία των αρμονικών συχνοτήτων στην μουσική.
και κάποια στιγμή φτάνουμε στον Ίππασο...
Ο Ίππασος ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Ήταν ο ιδρυτής του «μαθηματικού τμήματος» της Πυθαγόρειας Σχολής.
Ο Ίππασος λοιπόν κάποια στιγμή, ανακάλυψε πως η ρίζα του δύο, ή καλύτερα η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1, είναι άρρητος αριθμός (δηλ. δεν μπορεί να εκφραστεί σαν κλάσμα 2 ακεραίων)*. Οι πυθαγόρειοι όπως είπαμε πίστευαν στον αριθμό ως αρχή των πάντων. Ως αριθμό εννοούσαν τους φυσικούς αριθμούς. Η ανακάλυψη αυτή του Ίππασου ανέτρεπε άρδην τις αντιλήψεις τους και ο θρύλος λέει ότι για να μείνει κρυφή η ανακάλυψη αυτή και να μην κινδυνεύσει η ύπαρξη της σχολής, τον πέταξαν στη θάλασσα, όπου και πνίγηκε.
Πρέπει να ήταν ο πρώτος άνθρωπος (και ίσως ο τελευταίος) που πέθανε για μια ρίζα... έστω και τετραγωνική...
*υπάρχει μια πολύ ενδιαφέρουσα απόδειξη για αυτό που ήδη υπάρχει στα στοιχεία του Ευκλείδη...
βέβαια δεν είναι κανείς υποχρεωμένος να την παρακολουθήσει αλλά οι άνθρωποι με μαθηματική κλίση την βρίσκουν εξαιρετικά γοητευτική... και αποτελεί και κλασικό παράδειγμα της εις άτοπον απαγωγής...
Έστω ότι η (τετραγωνική ρίζα του 2) είναι ρητός, δηλαδή (τετραγωνική ρίζα του 2) = a / b, όπου a και b είναι μη μηδενικοί ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους (ορισμός ρητών αριθμών). Έτσι, b*(τετραγωνική ρίζα του 2) = a. Υψώνοντας και τις δυο πλευρές στο τετράγωνο δίνει 2*b^2 = a^2. Αφού το 2 διαιρεί το αριστερό μέρος, θα πρέπει και να διαιρεί το δεξί μέλος της εξίσωσης, μιας και είναι ίσα. Επομένως, ο a^2 είναι άρτιος, που σημαίνει ότι ο a θα πρέπει επίσης να είναι άρτιος. Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε a = 2*c, όπου c είναι ακέραιος. Αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση δίνει 2*b^2 = (2*c)^2 = 4*c^2. Διαιρώντας και τις δυο πλευρές με το 2 δίνει b^2 = 2*c^2. Αλλά τότε, ακολουθώντας το ίδιο επιχείρημα, το 2 διαιρεί το b^2, άρα και το b είναι άρτιος. Όμως, αν οι a και b είναι και οι δυο άρτιοι, έχουν κοινό διαιρέτη (το 2). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα πρέπει να συμπεράνουμε ότι ο η (τετραγωνική ρίζα του 2) είναι άρρητος.
Άρρητος αριθμός ονομάζεται ο κάθε αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων. (ακέραιοι είναι οι γνωστοί σε όλους 1,2,3,4,... κοκ)
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγεθών μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο φυσικών αριθμών (ακεραίων δηλ). Δηλαδή με πιο απλά λόγια ότι όλοι οι αριθμοί που υπάρχουν, μπορούν να εκφραστούν σαν κλάσμα δύο ακεραίων, πχ, 3/4, 13/17, 1357/1358... Στην πεποίθηση αυτή είχαν στηρίξει όλη τη κοσμοθεωρία τους και προσπαθούσαν να επιλύσουν προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο. Όπως για παράδειγμα η θεωρία των αρμονικών συχνοτήτων στην μουσική.
και κάποια στιγμή φτάνουμε στον Ίππασο...
Ο Ίππασος ήταν αρχαίος Έλληνας Πυθαγόρειος φιλόσοφος, μαθηματικός και φυσικός. Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Ήταν ο ιδρυτής του «μαθηματικού τμήματος» της Πυθαγόρειας Σχολής.
Ο Ίππασος λοιπόν κάποια στιγμή, ανακάλυψε πως η ρίζα του δύο, ή καλύτερα η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά 1, είναι άρρητος αριθμός (δηλ. δεν μπορεί να εκφραστεί σαν κλάσμα 2 ακεραίων)*. Οι πυθαγόρειοι όπως είπαμε πίστευαν στον αριθμό ως αρχή των πάντων. Ως αριθμό εννοούσαν τους φυσικούς αριθμούς. Η ανακάλυψη αυτή του Ίππασου ανέτρεπε άρδην τις αντιλήψεις τους και ο θρύλος λέει ότι για να μείνει κρυφή η ανακάλυψη αυτή και να μην κινδυνεύσει η ύπαρξη της σχολής, τον πέταξαν στη θάλασσα, όπου και πνίγηκε.
Πρέπει να ήταν ο πρώτος άνθρωπος (και ίσως ο τελευταίος) που πέθανε για μια ρίζα... έστω και τετραγωνική...
*υπάρχει μια πολύ ενδιαφέρουσα απόδειξη για αυτό που ήδη υπάρχει στα στοιχεία του Ευκλείδη...
βέβαια δεν είναι κανείς υποχρεωμένος να την παρακολουθήσει αλλά οι άνθρωποι με μαθηματική κλίση την βρίσκουν εξαιρετικά γοητευτική... και αποτελεί και κλασικό παράδειγμα της εις άτοπον απαγωγής...
Έστω ότι η (τετραγωνική ρίζα του 2) είναι ρητός, δηλαδή (τετραγωνική ρίζα του 2) = a / b, όπου a και b είναι μη μηδενικοί ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους (ορισμός ρητών αριθμών). Έτσι, b*(τετραγωνική ρίζα του 2) = a. Υψώνοντας και τις δυο πλευρές στο τετράγωνο δίνει 2*b^2 = a^2. Αφού το 2 διαιρεί το αριστερό μέρος, θα πρέπει και να διαιρεί το δεξί μέλος της εξίσωσης, μιας και είναι ίσα. Επομένως, ο a^2 είναι άρτιος, που σημαίνει ότι ο a θα πρέπει επίσης να είναι άρτιος. Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε a = 2*c, όπου c είναι ακέραιος. Αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση δίνει 2*b^2 = (2*c)^2 = 4*c^2. Διαιρώντας και τις δυο πλευρές με το 2 δίνει b^2 = 2*c^2. Αλλά τότε, ακολουθώντας το ίδιο επιχείρημα, το 2 διαιρεί το b^2, άρα και το b είναι άρτιος. Όμως, αν οι a και b είναι και οι δυο άρτιοι, έχουν κοινό διαιρέτη (το 2). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα πρέπει να συμπεράνουμε ότι ο η (τετραγωνική ρίζα του 2) είναι άρρητος.
No comments:
Post a Comment